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本博文是《深入浅出通信原理》的学习笔记,仅供个人学习参考使用 文章目录 一、理想的采样1.1 从频域角度分析理想采样 二、实际工作中的采样三、理想采样与实际采样的关系3.1 从频域角度看实际采样 四、奈奎斯特采样定理4.1 频率混叠现象频率混叠的现象推广到复信号 4.2 折叠频率 五、如何由采样信号恢复出模拟信号5.1 理想采样恢复模拟信号5.2 实际采样(平顶采样)恢复出模拟信号 六、通带采样定理 一、理想的采样我们在数电的学习当中都知道:模拟信号转数字信号需要经过“采样”,“保持”,”量化“,"编码”四个步骤,下面结合框图一起来看看: ![]() 对于上图,首先我们要说的是这个抽样脉冲
p
(
t
)
p(t)
p(t):它是单位冲激函数以周期为
T
s
T_s
Ts(
T
s
T_s
Ts是采样周期)叠加形成的,我们写一下它的表达式:
p
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
δ
(
t
−
n
T
s
)
p(t) = \sum_{n=-∞}^{+∞}δ(t - nT_s)
p(t)=n=−∞∑+∞δ(t−nTs) 当然,研究一个信号,要分别从时域和频域入手,因此,下面我们看看
p
(
t
)
p(t)
p(t)的频域。对它做傅里叶变换,由于我们在上一篇blog中已经计算了周期信号的傅里叶变换,因此:
F
[
p
(
t
)
]
=
2
Π
∑
k
=
−
∞
+
∞
c
k
δ
(
ω
−
k
ω
0
)
\mathscr{F}[p(t)] = 2Π\sum_{k=-∞}^{+∞}c_kδ(ω - kω_0)
F[p(t)]=2Πk=−∞∑+∞ckδ(ω−kω0) 其中,
c
k
c_k
ck有:
c
k
=
1
T
s
∫
−
T
s
2
+
T
s
2
p
(
t
)
e
−
j
k
ω
0
t
d
t
c_k = \frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{+\frac{T_s}{2}}p(t)e^{-jkω_0t}dt
ck=Ts1∫−2Ts+2Tsp(t)e−jkω0tdt 而注意,我们别忘了,当在区间
[
−
T
s
2
,
+
T
s
2
]
[-\frac{T_s}{2}, +\frac{T_s}{2}]
[−2Ts,+2Ts]内,
p
(
t
)
=
δ
(
t
)
p(t) = δ(t)
p(t)=δ(t)!因此,
c
k
c_k
ck又可以表示成:
c
k
=
1
T
s
∫
−
T
s
2
+
T
s
2
δ
(
t
)
e
−
j
k
ω
0
t
d
t
=
1
T
s
c_k = \frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{+\frac{T_s}{2}}δ(t)e^{-jkω_0t}dt = \frac{1}{T_s}
ck=Ts1∫−2Ts+2Tsδ(t)e−jkω0tdt=Ts1 那么,我们就知道了采样脉冲
p
(
t
)
p(t)
p(t)的傅里叶变换了:
F
[
p
(
t
)
]
=
2
Π
∑
k
=
−
∞
+
∞
c
k
δ
(
ω
−
k
ω
0
)
=
2
Π
T
s
∑
k
=
−
∞
+
∞
δ
(
ω
−
k
ω
0
)
\mathscr{F}[p(t)] = 2Π\sum_{k=-∞}^{+∞}c_kδ(ω - kω_0) = \frac{2Π}{T_s}\sum_{k=-∞}^{+∞}δ(ω - kω_0)
F[p(t)]=2Πk=−∞∑+∞ckδ(ω−kω0)=Ts2Πk=−∞∑+∞δ(ω−kω0) 根据傅里叶变换的结果,采样脉冲的频谱密度就是一系列幅度为
2
Π
T
s
\frac{2Π}{T_s}
Ts2Π的单位冲激函数的叠加! 这里直接贴上《深入浅出通信原理》里面的一张大图,清晰明了: ![]() 那么我们可以知道,对信号进行理想采样相当于给原模拟信号的频谱做周期性延拓! 二、实际工作中的采样实际工作中,我们是通过AD转换器进行采样的,常见的是并联比较型A/D转换器: 下面是并联型AD转换器的原理图,如果大家想搞明白所有内部细节,详见我的这篇blog: 【数字电子技术 Digital Electronic Technology 10】—— 数-模和模-数转换 ![]() 它把参考电平 V R E F V_{REF} VREF分成了8份,每一份都对应着一个电平区间,然后看我们某一个时刻采样到的模拟信号的电压值是在哪一个区间范围,就给它对应的量化。具体关系如下表所示: ![]() 然后这里就有问题了:因为我们刚刚的并联型AD转换器使用的是上升沿触发的D触发器,因此,实际的采样会有一个CLK同步时钟信号,当一个CLK上升沿到来时,进行一个采样,看这个时刻模拟信号 f ( t ) f(t) f(t)的电压值在我们上表的哪一个范围,给它一个数字量,然后,这个数字量会保持CLK的一个周期 我们以下面的图更好地理解一下上面所说的话: 主要是因为在实际工作做,理想的抽样脉冲是不可能实现的! 三、理想采样与实际采样的关系既然实际抽样和理想采样的实现方法不一样,那么它们之间到底有什么关系呢? ![]() 如上图所示:实际采样完全可以用这个框图模型等价分析! 为什么呢?其实我们看啊,从上面实际采样的图我们发现:直到第三个图,实际采样的步骤都还是完完全全的理想采样的结果,只是最后每一个采样值都会持续 T s T_s Ts 而我们这个框图里面,脉冲成型的步骤就实现了让每一个 n T s nT_s nTs处的采样值都能够维持 T s T_s Ts的时间 因此,分析这个脉冲成型框里面的秘密就显得尤为重要! 我们先来看看经过理想采样之后的输出值,也就是输入“脉冲成型”系统的值: f s ( t ) = f ( n T s ) ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( t − n T s ) = ∑ n = − ∞ + ∞ f ( n T s ) δ ( t − n T s ) f_s(t) = f(nT_s)\sum_{n=-∞}^{+∞}δ(t - nT_s) = \sum_{n=-∞}^{+∞} f(nT_s)δ(t - nT_s) fs(t)=f(nTs)n=−∞∑+∞δ(t−nTs)=n=−∞∑+∞f(nTs)δ(t−nTs) 下图展示了某一个 n T s nT_s nTs时刻模拟信号的采样值经过 h ( t ) h(t) h(t)之后的输出。 还记得我们在之前的blog里面提到的吗?我们可以使用单位冲激响应来描述一个系统。而这里的“脉冲成型滤波器”,就是一个系统,我们用
h
(
t
)
h(t)
h(t)来描述它! 然后,我们再观察输入“脉冲成型滤波器”系统的输入: f s ( t ) f_s(t) fs(t): f s ( t ) = f ( n T s ) ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( t − n T s ) = ∑ n = − ∞ + ∞ f ( n T s ) δ ( t − n T s ) f_s(t) = f(nT_s)\sum_{n=-∞}^{+∞}δ(t - nT_s) = \sum_{n=-∞}^{+∞} f(nT_s)δ(t - nT_s) fs(t)=f(nTs)n=−∞∑+∞δ(t−nTs)=n=−∞∑+∞f(nTs)δ(t−nTs) 它恰好是许多单位冲击序列的加权和! f ( n T s ) f(nT_s) f(nTs)就是不同单位冲击序列的权值! 那么, f s ( t ) f_s(t) fs(t)经过单位冲击响应是 h ( t ) h(t) h(t)的系统,输出就是: y ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ f s ( n T s ) h ( t − n T s ) = f s ( t ) ∗ h ( t ) y(t) = \sum_{n=-∞}^{+∞} f_s(nT_s)h(t - nT_s) = f_s(t)*h(t) y(t)=n=−∞∑+∞fs(nTs)h(t−nTs)=fs(t)∗h(t) 3.1 从频域角度看实际采样在正式开始频域分析之前,我们先简单回顾一下时域的情况: y ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ f s ( n T s ) h ( t − n T s ) = f s ( t ) ∗ h ( t ) y(t) = \sum_{n=-∞}^{+∞} f_s(nT_s)h(t - nT_s) = f_s(t)*h(t) y(t)=n=−∞∑+∞fs(nTs)h(t−nTs)=fs(t)∗h(t) 还记得时域卷积定理吗?两个信号的时域卷积,那么就等价于它们的频域就相乘 即,时域上: y ( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) y(t) = x(t)*h(t) y(t)=x(t)∗h(t) 频域上: F [ y ( t ) ] = F [ x ( t ) ] F [ h ( t ) ] \mathscr{F}[y(t)] =\mathscr{F}[x(t)]\mathscr{F}[h(t)] F[y(t)]=F[x(t)]F[h(t)] 而 F [ h ( t ) ] \mathscr{F}[h(t)] F[h(t)],就是脉冲成型滤波器的频率响应! 下面是脉冲成型滤波器的单位冲激响应: ![]() 它其实可以看成是以纵轴为对称轴,周期为
T
s
T_s
Ts的矩形脉冲延时
T
s
2
\frac{T_s}{2}
2Ts得来的: 因此,我们就求出了脉冲成型滤波器的频率响应啦: F [ h ( t ) ] = T s s i n c ( T s f ) e − j Π f T s \mathscr{F}[h(t)] = T_ssinc(T_sf)e^{-jΠfT_s} F[h(t)]=Tssinc(Tsf)e−jΠfTs 我们知道:信号的频率响应应该包括幅频响应和相频响应 其幅频响应就是: ∣ F [ h ( t ) ] ∣ = T s ∣ s i n c ( T s f ) ∣ |\mathscr{F}[h(t)]| = T_s|sinc(T_sf)| ∣F[h(t)]∣=Ts∣sinc(Tsf)∣ 四、奈奎斯特采样定理下面是奈奎斯特采样定理:为了从抽样信号里面无失真地恢复原信号,要求采样频率 f s f_s fs必须要大于2倍原信号的最高频率 f m a x f_{max} fmax,即: f s > 2 f m a x f_s > 2f_{max} fs>2fmax 当
f
s
>
2
f
m
a
x
f_s > 2f_{max}
fs>2fmax的情况我就不画出来了,主要是想看看当
f
s
=
f
m
a
x
f_s = f_{max}
fs=fmax的情况: 现在有一个f = 5Hz的余弦波,我们以
f
s
=
10
H
z
f_s = 10Hz
fs=10Hz的频率采样,下面来看看两种情况: 我们如果有一个频率为 f = 5 H z f = 5Hz f=5Hz的信号,如果以 f s = 8 H z f_s = 8Hz fs=8Hz的采样频率,那么采样点分布如下图: ![]() 到底能不能正确地恢复出原来的模拟信号呢?至少现在看起来,y = cos(2* pi * 5*t)是经过这些采样点的,但是你知道吗:y = cos(2 * pi * 3 * t)也完全经过这些采样点!! ![]() 上图中的绿色曲线就是频率为3Hz的余弦波,那么,我们以 f s = 8 H z f_s = 8Hz fs=8Hz的频率采样,恢复出来的应该是3Hz的余弦波而不是原来5Hz的余弦波。 因此,在以小于2倍 f m a x f_{max} fmax频率下采样出现的这种现象就叫做频率混叠 另外,我们还有一个结论: 以采样频率 f s f_s fs对 k f s ± f kf_s ± f kfs±f的信号进行采样,采样的结果是无法区分的!也就是说,采样点都是在一个位置,但是恢复出原波形的话, k f s ± f kf_s ± f kfs±f这些频率里面哪一种都有可能。 【证明】: 原信号频率为: f c f_c fc,采样频率为: f s f_s fs,因此,采样的时间间隔就是 T s = 1 f s T_s = \frac{1}{f_s} Ts=fs1 对于我们的模拟信号: y = c o s ( 2 p i f c t ) y = cos(2pif_ct) y=cos(2pifct),第n次采样的值是: c o s ( 2 p i f c n f s ) cos(2pif_c\frac{n}{f_s}) cos(2pifcfsn) 而如果信号频率是: k f s ± f c kf_s ± f_c kfs±fc,那么第n次采样的值就是: c o s [ 2 p i ( k f s ± f c ) n f s ] = c o s ( 2 p i k f s ± 2 p i f c n f s ) = c o s ( 2 p i f c n f s ) cos[2pi(kf_s±f_c)\frac{n}{f_s}] = cos(2pikf_s ±2pif_c\frac{n}{f_s}) = cos(2pif_c\frac{n}{f_s}) cos[2pi(kfs±fc)fsn]=cos(2pikfs±2pifcfsn)=cos(2pifcfsn) 频率混叠的现象推广到复信号在复信号下,也是一样的,以 f s f_s fs的采样频率对模拟信号采样,分辨不出原信号的频率是 f c f_c fc还是 k f s + f c kf_s + f_c kfs+fc 【证明】:复信号是: e j 2 Π f c t = c o s ( 2 Π f c t ) + j s i n ( 2 Π f t ) e^{j2Πf_ct} = cos(2Πf_ct) + jsin(2Πf_t) ej2Πfct=cos(2Πfct)+jsin(2Πft) 在第n个采样时刻所采样的值是: c o s ( 2 Π f c n f s ) + j s i n ( 2 Π f c n f s ) cos(2Πf_c\frac{n}{f_s}) + jsin(2Πf_c\frac{n}{f_s}) cos(2Πfcfsn)+jsin(2Πfcfsn) 如果复信号的频率是: k f s + f c kf_s+f_c kfs+fc,那么第n个采样时刻所采样的值是: c o s [ 2 Π ( k f s + f c ) n f s ] + j s i n [ 2 Π ( k f s + f c ) n f s ] = c o s ( 2 Π f c n f s ) + j s i n ( 2 Π f c n f s ) cos[2Π(kf_s+f_c)\frac{n}{f_s}] + jsin[2Π(kf_s+f_c)\frac{n}{f_s}]\\ =cos(2Πf_c\frac{n}{f_s}) + jsin(2Πf_c\frac{n}{f_s}) cos[2Π(kfs+fc)fsn]+jsin[2Π(kfs+fc)fsn]=cos(2Πfcfsn)+jsin(2Πfcfsn) 上面从公式上证明了,下面我们以图像的形式直观地来看看: 我们以 f c = 5 H z f_c = 5Hz fc=5Hz,采样频率 f s f_s fs先是8Hz来看看对复指数信号的采样情况: 既然模拟信号是 f c = 5 H z f_c = 5Hz fc=5Hz,即旋转向量(复指数信号我们都可以看成是旋转向量, f > 0 f >0 f>0表示逆时针旋转, f < 0 f < 0 f |
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